الحالة الجديدة في تطابق المثلثات للصف الثامن

لنفترض أن لدينا المثلثين أ ب جـ، س ص ع بحيث:

أ ب = س ص ، أ جـ = س ع ، ق ( < ب) = ق ( < ص) وكلتاهما منفرجتان. ماذا تقول عن هذين المثلثين ؟؟؟

( نفس الصياغة التي تم توجيهها إلى الخبراء الأمريكان في askme.com والتي نقلت فيما بعد إلى منتدى math.com)

( الشكل 2 )

العمل : نسقط أ هـ عمودياً يقطع امتداد جـ ب في هـ ، كما نسقط س م عمودياً يقطع امتداد ع ص في م .

البرهان: ق( < أ ب هـ ) = ق ( < س ص م ) … مكملات لزوايا متساوية في القياس.

وذلك كاف لبرهان تطابق المثلثين أ هـ ب ، س م ص بحسب الحالة الثالثة ( ضلع وزاويتان – نظائرها )

نستنتج من ذلك التطابق أن أ هـ = س م ، وهذا الشرط يكمل شروط تطابق المثلثين أ هـ جـ ، س م ع ، بحسب الحالة الرابعة .. (ضلع وقائمة ووتر – نظائرها).

من التطابق الأخير يمكن استنتاج أن ق( < جـ) = ق(< ع) ، وبتوفر هذا الشرط ينتهي السجال بثبوت تطابق المثلثين أ ب جـ ، س ص ع استناداً إلى أحد المخارج التالية:

1- بزاويتين وضلع – نظائرها ، أو:

2- قياس الزاوية الثالثة في الأول = قياس الزاوية الثالثة في الثاني ( وهذا يرجعنا إلى الحالة ضلعين وزاوية محصورة ) ، أو:

3- بطرح هـ ب من هـ جـ ، وبطرح م ص من م ع نستنتج أن ب جـ = ص ع ، وذلك يعود بالبرهان إلى الحالة الأولى ( ثلاثة أضلاع – نظائرها ).

ولكي تكتمل الصورة نورد ما ذهب إليه الزميل / زياد كلاّب في رؤيته لبرهان تطابق المثلثين السابقين، حيث استند إلى ما يعرف بقانون جيب الزاوية أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ ، وبالرجوع إلى المثلثين بحسب المعطيات في الشكل 2، فإن:

أ جـ / جا ب في المثلث الأول = س ع / جا ص في المثلث الثاني.

وبالطبع فالنسبة الأولى أ جـ / جا ب = أ ب / جا جـ ، فيما النسبة الثانية س ع / جا ص= س ص / جا ع الأمر الذي يقطع بصحة أن أ ب / جا جـ = س ص / جا ع، ومن تطابق القطعتين أ ب ، س ص يكون جا جـ = جا ع ، وكلتاهما حادتان ( والجيب موجب ) ، إذن قياس جـ = قياس ع، وبالتالي يمكن تأويل صحة التطابق حسب مخارج عدة.

لا شك إذن في تطابق المثلثين رغم عدم حصر الزاوية !!

محاولة للفهم